Учился в балетной студии при Латвийской опере, впоследствии преобразованной в Рижское хореографическое училище.

Был замечен балетными педагогами из Москвы и переведен в Московское хореографическое училище (МХУ). Перевод состоялся в 1953 году: два последних года Лиепа учился в МХУ в классе Николая Тарасова, ученика Н.Легата.

В 1955 году Лиепа с отличием окончил Московское хореографическое училище, после чего был направлен на работу в Ригу. В 1956 году он получил приглашение от Майи Плисецкой принять участие в гастрольной поездке в Будапешт, выступив в роли Зигфрида в «Лебедином озере» (редакция Горского – Мессерера).

Дебют Лиепы в Будапеште в марте 1956 года прошел удачно, и летом этого года он был принят в труппу Московского музыкального театра им. К.С. Станиславского и В.И. Немировича-Данченко. В этой труппе он проработал четыре сезона, сразу же получив ведущее положение.

В 1960 году Лиепа получил приглашение в труппу Большого театра. Он активно танцевал, создавая партии в классическом и современном репертуаре, с 1963 года занимался педагогической деятельностью.

С середины 1960-х годов наступает период творческой зрелости артиста, который совпадает с приходом в Большой театр в 1964 году нового главного балетмейстера Юрия Григоровича.

«Звездным» стал в биографии Лиепы 1968 год. В этом году состоялась премьера нового балета «Спартак», в котором роль римского полководца Красса была поставлена Григоровичем специально для Лиепы. В 1970 году за роль Красса Лиепе была присуждена Ленинская премия.

Конец 1960 — начало 1970-х годов – период триумфальных зарубежных гастролей Большого театра по всему миру, в том числе во Франции, Англии и США. На этих гастролях Марис Лиепа получает мировое признание. В 1971 году Парижская академия танца назвала его лучшим танцовщиком года и наградила премией Вацлава Нижинского.

В начале 1970-х годов отношения Лиепы с Григоровичем ухудшились. Это привело не только к ограничениям в занятости артиста в текущем репертуаре и гастролях, но и препятствиям в создании им новых партий.

Лиепа продолжил творческую деятельность вне театра – съемки на телевидении, в кино. Несмотря на успехи в разных жанрах вне сцены Большого театра, он переживал тяжелый период депрессии. В 1980 году была опубликована его автобиографическая книга «Я хочу танцевать сто лет». Но, к сожалению, не получилось…

26 марта 1989 года Марис Лиепа умер от инфаркта в Москве. Ему было всего 52 года.